Définition :
Soit \(P(X)=\sum^n_{i=0}a_iX^i\) un polynôme de degré \(\leqslant n\) et soit \(A\) une matrice de taille \(k\times k\)
Alors \(P(A)=\sum^n_{i=0}a_iA^i\) est une matrice
On dit que \(P\) est un polynôme annulateur de \(A\) si \(P(A)\) est une matrice nulle
(Polynôme de matrices)
Proposition :
Si \(A\) est une matrice de taille \(k\times k\), alors il existe un polynôme annulateur de \(A\) non nul de degré \(\leqslant k^2\)
(Degré)
Il y a l'implication : $$\begin{align} {{\mu_2A^2+\mu_1 A+\mu_0\operatorname{Id}=0}}&\impliedby {{P_A(X)=\mu_2X^2+\mu_1 X+\mu_0}}\\ {{\sum^n_{i=0}\mu_iA^i=0}}&\impliedby {{P_A(X)=\sum^n_{i=0}\mu_iX^i}}\end{align}$$
Si \(P\) est un polynôme annulateur de \(A\), alors \(\lambda P\) est un polynôme annulateur de \(A\)
(Produit d’un polynôme par un scalaire)
On note $$A_{nn}(A)$$ l'ensemble des polynômes annulateurs de \(A\)
On a toujours $$A_{nn}(A)\neq{{\varnothing}}$$
\(A_{nn}(A)\) est un sous-espace vectoriel de \({\Bbb R}[X]\)
(Ensemble des polynômes, Espace vectoriel)
Pour \(A\) donné, il existe un polynôme annulateur unitaire et non nul et il est unique
(Polynôme nul, Polynôme unitaire - Polynôme normalisé)